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<!DOCTYPE html>

<title>Pauli-Prinzip</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Pauli-Prinzip</span></h1>

</header>

</div>

<p>Das <b>Pauli-Prinzip</b> (auch <b>Pauli-Verbot</b> oder <b>Paulisches Ausschließungsprinzip</b>) ist ein <a href="Physikalisches_Gesetz" title="Physikalisches Gesetz">physikalisches Gesetz</a>, das sich in der <a href="Quantenphysik" title="Quantenphysik">Quantenphysik</a> auswirkt. Es wurde 1925 von <a href="Wolfgang_Pauli" title="Wolfgang Pauli">Wolfgang Pauli</a> zur quantentheoretischen Erklärung des <a href="Elektronenkonfiguration" title="Elektronenkonfiguration">Aufbaus der Atome</a> formuliert und besagte in seiner ursprünglichen Fassung, dass je zwei <a href="Elektron" title="Elektron">Elektronen</a> in einem Atom nicht in allen <a href="Quantenzahl" title="Quantenzahl">Quantenzahlen</a> übereinstimmen können. In der modernen Formulierung besagt das Pauli-Prinzip, dass die <a href="Wellenfunktion" title="Wellenfunktion">Wellenfunktion</a> eines Quantensystems in Bezug auf Vertauschung von identischen <a href="Fermion" title="Fermion">Fermionen</a> <a href="Quantenstatistik" title="Quantenstatistik">antisymmetrisch</a> ist. Da auch die <a href="Quark_(Physik)" title="Quark (Physik)">Quarks</a> als Bausteine von <a href="Proton" title="Proton">Protonen</a> und <a href="Neutron" title="Neutron">Neutronen</a> zu den Fermionen zählen, gilt das Pauli-Prinzip für die gesamte Materie im allgemein verstandenen Sinne: Identische Fermionen „schließen sich gegenseitig aus“, können also nicht zur selben Zeit am selben Ort (Raumzeitpunkt) existieren. Nur so lässt sich der differenzierte Aufbau der Materie mit Atomen und Molekülen verstehen.<sup id="cite_ref-römpp_1-0" class="reference"><a href="#cite_note-römpp-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Das Pauli-Prinzip bestimmt demnach nicht nur den Aufbau des <a href="Atom" title="Atom">Atoms</a> (z. B. im <a href="Schalenmodell_(Atomphysik)" title="Schalenmodell (Atomphysik)">Schalenmodell der Atomhülle</a> und des <a href="Schalenmodell_(Kernphysik)" title="Schalenmodell (Kernphysik)">Atomkerns</a>), sondern auch den größerer Strukturen. Eine Folge ist der Widerstand, den <a href="Kondensierte_Materie" title="Kondensierte Materie">kondensierte Materie</a> weiterer Kompression entgegensetzt.<sup id="cite_ref-spektrum_2-0" class="reference"><a href="#cite_note-spektrum-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p><p>Das Pauli-Prinzip ist nicht zu verwechseln mit dem <a href="Pauli-Effekt" title="Pauli-Effekt">Pauli-Effekt</a>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Vereinfachte_Darstellung">Vereinfachte Darstellung</h2></div>

<p>In der Quantenmechanik sind identische Teilchen <i><a href="Ununterscheidbare_Teilchen" title="Ununterscheidbare Teilchen">ununterscheidbar</a></i>. Das bedeutet, dass etwa der Verlauf eines Experiments oder ganz allgemein die Entwicklung eines physikalischen Systems sich nicht ändern, wenn zwei identische Teilchen vertauscht werden. In der Quantentheorie hängen die Messwerte, die ein System erzeugt, vom <a href="Betragsquadrat" title="Betragsquadrat">Betragsquadrat</a> der Gesamt-Wellenfunktion des Systems ab. Dieses Betragsquadrat muss also nach der Vertauschung zweier identischer Teilchen gleich bleiben – was in diesem Fall bedeutet, dass sich durch die Vertauschung nur der <a href="Komplexe_Zahl#Darstellung_von_komplexen_Zahlen_in_der_komplexen_Zahlenebene" title="Komplexe Zahl">Phasenanteil</a> der Wellenfunktion ändern darf. In einer Welt mit drei Raumdimensionen kann dieser Phasenfaktor nur <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle +1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle +1}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d04cf05c67d41d9f39dabf6a90722ce860a76958.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:2.971ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle +1}" loading="lazy"></span> oder <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -1}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/704fb0427140d054dd267925495e78164fee9aac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:2.971ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle -1}" loading="lazy"></span> sein. Teilchen, bei denen die Wellenfunktion unter Vertauschung gleich bleibt, heißen <a href="Boson" title="Boson">Bosonen</a>, Teilchen mit einem Vorzeichenwechsel in der Wellenfunktion heißen <a href="Fermion" title="Fermion">Fermionen</a>. Der Vorzeichenwechsel wird als <i><a href="Antisymmetrische_Funktion" title="Antisymmetrische Funktion">Antisymmetrie</a> der Wellenfunktion bezüglich Teilchenvertauschung</i> bezeichnet.<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p><p>In seiner speziellen und zuerst beobachteten Form besagt das Pauli-Prinzip, dass in einem Atom keine zwei Elektronen in allen vier Quantenzahlen, die zu seiner Zustandsbeschreibung im <a href="Orbitalmodell" class="mw-redirect" title="Orbitalmodell">Orbitalmodell</a> notwendig sind, übereinstimmen. Wenn zwei Elektronen beispielsweise gleiche Haupt-, Neben- und magnetische Quantenzahlen haben, müssen sie sich in der vierten Quantenzahl, in diesem Fall der Spin-Quantenzahl, unterscheiden. Da diese nur die Werte <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b0f99130274f09ef6b857419bf5c2529a6423597.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:3.466ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle +{\tfrac {1}{2}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle +{\tfrac {1}{2}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7588217aab824f29bbd55e94f999fe5e700e2fe1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:3.466ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle +{\tfrac {1}{2}}}" loading="lazy"></span> annehmen kann, können sich in einem einzigen <a href="Atomorbital" title="Atomorbital">Atomorbital</a> maximal zwei Elektronen aufhalten. Diese Tatsache bestimmt maßgeblich den Aufbau der chemischen Elemente (siehe <a href="Periodensystem" title="Periodensystem">Periodensystem</a>).

</p><p>Als Berechnungsbeispiel kann die Lösung der <a href="Schr%C3%B6dingergleichung" title="Schrödingergleichung">Schrödingergleichung</a> für das einfachste vom Pauli-Prinzip „betroffene“ Atom, das <a href="Heliumatom" title="Heliumatom">Heliumatom</a>, dienen.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Allgemeine_Form_(verallgemeinertes_Pauli-Prinzip)"><span id="Allgemeine_Form_.28verallgemeinertes_Pauli-Prinzip.29"></span>Allgemeine Form (verallgemeinertes Pauli-Prinzip)</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Formulierung">Formulierung</h3></div>

<p>Die <a href="Wellenfunktion" title="Wellenfunktion">Gesamtwellenfunktion</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi ({\vec {r}}_{1},s_{1};{\vec {r}}_{2},s_{2};\dots )}">

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</mrow>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi ({\vec {r}}_{1},s_{1};{\vec {r}}_{2},s_{2};\dots )}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/040a83615c66701094670dc433abb03b3481d666.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.025ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \psi ({\vec {r}}_{1},s_{1};{\vec {r}}_{2},s_{2};\dots )}" loading="lazy"></span> eines Systems von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"></span> identischen <a href="Fermion" title="Fermion">Fermionen</a> muss total antisymmetrisch bezüglich jeder Vertauschung <i>P</i> zweier Teilchen sein:

</p>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi ({\vec {r}}_{1},s_{1};\ldots ;{\vec {r}}_{n},s_{n})=-(P\psi )({\vec {r}}_{1},s_{1};\ldots ;{\vec {r}}_{n},s_{n})\,\,.}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/509746bc099f324a259382f9957e6ba8215ee43d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:49.364ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \psi ({\vec {r}}_{1},s_{1};\ldots ;{\vec {r}}_{n},s_{n})=-(P\psi )({\vec {r}}_{1},s_{1};\ldots ;{\vec {r}}_{n},s_{n})\,\,.}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Dabei ist <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {r}}_{i}}">

<msub>

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</mrow>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {r}}_{i}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/de93eb4c8bca39012a94e9809c45d7fd677bf975.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.023ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {r}}_{i}}" loading="lazy"></span> der Ort, <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s_{i}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cfda82668232cbdc0874ed28ab8b6079420d1ffe.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.89ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle s_{i}}" loading="lazy"></span> der <a href="Spin" title="Spin">Spin</a> des <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" loading="lazy"></span>-ten Fermions und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"></span> jeder <a href="Permutation" title="Permutation">Permutationsoperator</a>, der die Vertauschung jeweils zweier Teilchen bewirkt, also z. B. für die Vertauschung des ersten Teilchens mit dem zweiten:

</p>

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</mrow>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (P\psi )({\vec {r}}_{1},s_{1};{\vec {r}}_{2},s_{2};\dots ):=\psi ({\vec {r}}_{2},s_{2};{\vec {r}}_{1},s_{1};\dots )\,\,.}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/92099590e73719cef13ca2ac914fcbd99b6d4959.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:46.772ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (P\psi )({\vec {r}}_{1},s_{1};{\vec {r}}_{2},s_{2};\dots ):=\psi ({\vec {r}}_{2},s_{2};{\vec {r}}_{1},s_{1};\dots )\,\,.}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Anschauliche_Deutung">Anschauliche Deutung</h3></div>

<p>Betrachtet man ein System aus zwei nichtunterscheidbaren Fermionen, so gilt wegen der Antisymmetrie der Gesamtwellenfunktion

</p>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi ({\vec {r}}_{1},s_{1};{\vec {r}}_{2},s_{2})=-\psi ({\vec {r}}_{2},s_{2};{\vec {r}}_{1},s_{1}).}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d959ec114a898f17e7a9ecb2eb6b9f879a372914.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:36.09ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \psi ({\vec {r}}_{1},s_{1};{\vec {r}}_{2},s_{2})=-\psi ({\vec {r}}_{2},s_{2};{\vec {r}}_{1},s_{1}).}" loading="lazy"></span></dd></dl>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ({\vec {r}}_{1},s_{1})=({\vec {r}}_{2},s_{2})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a9ac180b6a08363b9340a69f28709f2caf586e70.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.629ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle ({\vec {r}}_{1},s_{1})=({\vec {r}}_{2},s_{2})}" loading="lazy"></span> ergibt sich daraus <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi ({\vec {r}}_{1},s_{1};{\vec {r}}_{1},s_{1})=-\psi ({\vec {r}}_{1},s_{1};{\vec {r}}_{1},s_{1})}">

<msub>

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</mrow>

</mrow>

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<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi ({\vec {r}}_{1},s_{1};{\vec {r}}_{1},s_{1})=-\psi ({\vec {r}}_{1},s_{1};{\vec {r}}_{1},s_{1})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d6a5130c9c59139356041cb9901f34fc8835c19d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:35.443ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \psi ({\vec {r}}_{1},s_{1};{\vec {r}}_{1},s_{1})=-\psi ({\vec {r}}_{1},s_{1};{\vec {r}}_{1},s_{1})}" loading="lazy"></span>, d. h. <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi ({\vec {r}}_{1},s_{1};{\vec {r}}_{1},s_{1})=0}">

<msub>

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</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi ({\vec {r}}_{1},s_{1};{\vec {r}}_{1},s_{1})=0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4dc9dd7f14d3fc290123056f6a5d62fa2d3254df.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.529ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \psi ({\vec {r}}_{1},s_{1};{\vec {r}}_{1},s_{1})=0}" loading="lazy"></span>. Somit muss auch das Betragsquadrat dieser Wellenfunktion, also die Wahrscheinlichkeitsdichte dafür, dass man bei einer Messung beide Fermionen am selben Ort <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {r}}_{1}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {r}}_{1}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3846ad020fcaf0f97523dc407977b9f4f3e87e8c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.277ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {r}}_{1}}" loading="lazy"></span> mit demselben Spin <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s_{1}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eb8baad278d51283e0ef3c99898d583cf2c8a8fd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.145ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle s_{1}}" loading="lazy"></span> findet, null sein.

</p><p>In vielen Fällen (ein solcher Fall ist z. B. für nichtentartete Eigenfunktionen von Hamilton-Operatoren ohne <a href="Spin-Bahn-Kopplung" title="Spin-Bahn-Kopplung">Spin-Bahn-Kopplung</a> stets gegeben) ist die Gesamtwellenfunktion <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/45e5789e5d9c8f7c79744f43ecaaf8ba42a8553a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.513ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \psi }" loading="lazy"></span> als Produkt von Ortswellenfunktion <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/72b1f30316670aee6270a28334bdf4f5072cdde4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.385ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi }" loading="lazy"></span> und Spinwellenfunktion <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \chi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \chi }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/656111758322ace96d80a9371771aa6d3de25437.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.455ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \chi }" loading="lazy"></span> darstellbar, also

</p>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi ({\vec {r}}_{1},s_{1};{\vec {r}}_{2},s_{2})=\phi ({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2})\chi (s_{1},s_{2}).}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/475f596916f76cf987e65df5a0b97c1550c334f9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:36.385ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \psi ({\vec {r}}_{1},s_{1};{\vec {r}}_{2},s_{2})=\phi ({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2})\chi (s_{1},s_{2}).}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Wegen der Antisymmetrie ist dann <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi ({\vec {r}}_{2},{\vec {r}}_{1})\chi (s_{2},s_{1})=-\phi ({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2})\chi (s_{1},s_{2})}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi ({\vec {r}}_{2},{\vec {r}}_{1})\chi (s_{2},s_{1})=-\phi ({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2})\chi (s_{1},s_{2})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1296c09632479eb5f4a9a0758ef8b9fe15abff4d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:39.649ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \phi ({\vec {r}}_{2},{\vec {r}}_{1})\chi (s_{2},s_{1})=-\phi ({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2})\chi (s_{1},s_{2})}" loading="lazy"></span>. Ist etwa die Spinwellenfunktion symmetrisch, also <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \chi (s_{1},s_{2})=\chi (s_{2},s_{1})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \chi (s_{1},s_{2})=\chi (s_{2},s_{1})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1a6da8adf538d7d24cde65c0f81b23bb16196c4b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.274ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \chi (s_{1},s_{2})=\chi (s_{2},s_{1})}" loading="lazy"></span>, so folgt daraus die Antisymmetrie der Ortswellenfunktion <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/72b1f30316670aee6270a28334bdf4f5072cdde4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.385ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi }" loading="lazy"></span>. Entsprechend gilt allgemein, dass die Symmetrie einer der Funktionen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/72b1f30316670aee6270a28334bdf4f5072cdde4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.385ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi }" loading="lazy"></span> oder <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \chi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \chi }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/656111758322ace96d80a9371771aa6d3de25437.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.455ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \chi }" loading="lazy"></span> äquivalent zur Antisymmetrie der jeweils anderen ist.

Sind also die zwei Fermionen etwa im selben Spinzustand <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle s}" loading="lazy"></span>, dann ist <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \chi (s_{1},s_{2})=\delta _{ss_{1}}\delta _{ss_{2}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \chi (s_{1},s_{2})=\delta _{ss_{1}}\delta _{ss_{2}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d0bf8a9f6820fcae043e5ea15ef3b42d4a44c26f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:18.963ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \chi (s_{1},s_{2})=\delta _{ss_{1}}\delta _{ss_{2}}}" loading="lazy"></span> symmetrisch und daher folgt die Antisymmetrie der Ortswellenfunktion.

</p><p>Diese Zusammenhänge gelten sinngemäß auch dann, wenn mehr als zwei nichtunterscheidbare Fermionen beteiligt sind.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Gültigkeit"><span id="G.C3.BCltigkeit"></span>Gültigkeit</h3></div>

<p>In der Natur kommen Teilchen mit <a href="Halbzahlig" title="Halbzahlig">halbzahligem</a> Spin (<a href="Fermion" title="Fermion">Fermionen</a>) und Teilchen mit ganzzahligem Spin (<a href="Boson" title="Boson">Bosonen</a>) vor. Das <a href="Spin-Statistik-Theorem" title="Spin-Statistik-Theorem">Spin-Statistik-Theorem</a> liefert die theoretische Begründung für den empirischen Befund, dass alle Elementarteilchen mit halbzahligem Spin der <a href="Fermi-Dirac-Statistik" title="Fermi-Dirac-Statistik">Fermi-Dirac-Statistik</a> folgen, hingegen alle Teilchen mit ganzzahligem Spin der <a href="Bose-Einstein-Statistik" title="Bose-Einstein-Statistik">Bose-Einstein-Statistik</a> folgen.

</p><p>Das Paulische Ausschließungsprinzip gilt für alle <a href="Teilchen_(Physik)" class="mw-redirect" title="Teilchen (Physik)">Teilchen</a> mit halbzahligem Spin und nur für diese. Für Bosonen gilt das Paulische Ausschließungsprinzip hingegen <i>nicht</i>. Diese Teilchen genügen der Bose-Einstein-Statistik und können gleiche Quantenzustände einnehmen, im Extremfall bis hin zum <a href="Bose-Einstein-Kondensat" title="Bose-Einstein-Kondensat">Bose-Einstein-Kondensat</a>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Permutations-_und_Drehverhalten">Permutations- und Drehverhalten</h3></div>

<p>Das verschiedene Permutationsverhalten von Fermionen und Bosonen passt zum verschiedenen Drehverhalten der jeweiligen <a href="Spinor" title="Spinor">Spinoren</a>. In beiden Fällen ergibt sich ein Faktor von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (-1)^{2s}=\mp 1}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (-1)^{2s}=\mp 1}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2a7b651348ee8ed870d13c492cfeac325e0b572d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.674ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (-1)^{2s}=\mp 1}" loading="lazy"></span>, mit dem (+)-Zeichen für Bosonen (<span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle s}" loading="lazy"></span> ganzzahlig) und dem (−)-Zeichen für Fermionen (<span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle s}" loading="lazy"></span> halbzahlig), entsprechend einer Drehung um 360°. Der Zusammenhang liegt unter anderem deshalb nahe, weil eine Vertauschung der Teilchen 1 und 2 einer komplementären Drehung der beiden Teilchen um 180° entspricht (zum Beispiel Teilchen 1 zum Ort 2 auf dem oberen Halbkreis, Teilchen 2 zum Ort 1 auf dem unteren Halbkreis).

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Konsequenzen">Konsequenzen</h2></div>

<p>Das Pauli-Prinzip führt zur <a href="Austauschwechselwirkung" title="Austauschwechselwirkung">Austauschwechselwirkung</a> und erklärt die Spinordnung in <a href="Atom" title="Atom">Atomen</a> (<a href="Hundsche_Regeln" title="Hundsche Regeln">Hundsche Regeln</a>) und <a href="Festk%C3%B6rper" title="Festkörper">Festkörpern</a> (<a href="Magnetismus" title="Magnetismus">Magnetismus</a>).

</p><p>In der Astrophysik wird durch das Pauli-Prinzip erklärt, dass alte Sterne mit Ausnahme der <a href="Schwarzes_Loch" title="Schwarzes Loch">Schwarzen Löcher</a> – zum Beispiel <a href="Wei%C3%9Fer_Zwerg" title="Weißer Zwerg">Weiße Zwerge</a> oder <a href="Neutronenstern" title="Neutronenstern">Neutronensterne</a> – nicht unter ihrer eigenen Gravitation zusammenbrechen. Die Fermionen erzeugen einen Gegendruck, den <a href="Entartungsdruck" class="mw-redirect" title="Entartungsdruck">Entartungsdruck</a>, der einer weiteren Kontraktion entgegenwirkt.

</p><p>Bei Streuprozessen zweier identischer Teilchen ergeben sich für das Trajektorienpaar durch Vertauschung stets zwei verschiedene, aber von außen nicht unterscheidbare Möglichkeiten. Dies muss bei der theoretischen Berechnung von <a href="Wirkungsquerschnitt" title="Wirkungsquerschnitt">Wirkungsquerschnitt</a> und <a href="Streutheorie" title="Streutheorie">Streuwellenfunktion</a> berücksichtigt werden.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<div class="sieheauch" role="navigation" style="font-style:italic;"><span class="sieheauch-text">Siehe auch</span>: <a href="Atomphysik" title="Atomphysik">Atomphysik</a> und <a href="Quantenphysik" title="Quantenphysik">Quantenphysik</a></div>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-römpp-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-römpp_1-0">↑</a></span> <span class="reference-text">Eintrag zu <a rel="nofollow" class="external text" href="https://roempp.thieme.de/lexicon/RD-16-00555"><i>Pauli-Prinzip</i></a>. In: <i><a href="R%C3%B6mpp_Online" class="mw-redirect" title="Römpp Online">Römpp Online</a>.</i> Georg Thieme Verlag, abgerufen am 28. Dezember 2014.<span class="editoronly" style="display:none;"></span></span>

</li>

<li id="cite_note-spektrum-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-spektrum_2-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.spektrum.de/lexikon/physik/pauli-prinzip/10966?"><i>Pauli-Prinzip</i>.</a> In: <i>Lexikon der Physik</i>, Spektrum.de, abgerufen am 28. Dezember 2014.</span>

</li>

<li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text">Peter W. Atkins: <i>Quanten - Begriffe und Konzepte für Chemiker</i>. VCH, ISBN 3-527-28423-0</span>

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>